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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
7.3.
Hallar un valor $N$ a partir del cual todos los terminos a partir de dicho $N$ verifiquen que
g) $a_{n}=\frac{n+5}{n+1}$ esté entre 0,5 y 1,5
g) $a_{n}=\frac{n+5}{n+1}$ esté entre 0,5 y 1,5
Respuesta
Ahora nuestra desigualdad es esta:
Reportar problema
$ 0.5 < \frac{n+5}{n+1} < 1.5 $
Resolvemos cada desigualdad por separado:
Desigualdad 1: $ \frac{n+5}{n+1} > 0.5 $
$n + 5 > 0.5 (n+1)$
$n + 5 > 0.5n + 0.5$
$0.5 n > -4.5$
$n > -9$
Todo $n$ natural es mayor a $-9$, por lo tanto, esta desigualdad se cumple para todos los $n$ naturales. Vamos con la otra:
Desigualdad 2: $ \frac{n+5}{n+1} < 1.5 $
$n+ 5 < 1.5(n+1)$
$n + 5 < 1.5n + 1.5$
$0.5n > 3.5$
$n > 7$
Es decir, esta desigualdad se cumple siempre que $n$ sea mayor estricto que $7$. Por lo tanto, el primer $n$ natural que cumple ambas desigualdades es $n = 8$.